La suma en N

 Operaciones definidas en el conjunto N

Definido el conjunto de los números naturales, vamos a construir dentro de él operaciones matemáticas, para darles utilidad práctica. Imagine que se trata de un juego cuyas reglas nos permitirán, incrementar, reducir o fragmentar, los números según su valor. A estas reglas las llamaremos operaciones. En esta entrega comenzaremos por la archiconocida suma o adicion.

La suma

Definamos la operación suma o adición, primero vamos a identificarla con un símbolo un símbolo y definamos sus propiedades. La representaremos con el siguiente símbolo +, y la dotaremos con las siguientes propiedades o reglas:

Antes que nada, por suma entenderemos el resultado de la unión de dos o más números, cuyo resultado será otro numero que representara la totalidad de la unión de las cantidades que representan dichos números. Vamos a usar letras, muchas veces este es el primer obstáculo para los estudiantes, quienes tienden a confundirse, y con razón, ¿por que como es que las letras van a ser números?

Preste atención; a + b = c, aquí la letra a, la b y la c representan tres números naturales cualesquiera distintos entre sí, y se relacionan por el símbolo de + que indica que a la cantidad a se le incorpora la cantidad b, de lo cual se obtiene un resultado que es c. A los elementos a y b los llamaremos sumandos, y c será el resultado. Si se lo pregunta esas dos líneas paralelas significa igual, por un lado, separa la operación, y por el otro indica que todo lo que esta a la derecha es idéntico a lo que se encuentra a la izquierda.

 Imagine la igualdad como una balanza en perfecto equilibrio, para que esto se de es necesario que lo que se encuentra de un lado sea lo que sea, pese exactamente lo que se encuentra del otro. Note que también si en una balanza no tiene nada de un lado u otro también debe estar en equilibrio, recuerde este dato.

Prosigamos con las propiedades, que no son otra cosa que características o reglas que siempre se cumplirán independientemente de los números naturales que usemos para la operación suma.

1.      Clausura o cerradura

2.      Conmutativa

3.      Asociativa

4.      Elemento neutro

5.      Cancelativa

Clausura o cerradura: Esta primera propiedad se refiere a que cualquier par o más de números pertenecientes a N que sumemos siempre obtendremos como resultado un numero natural. En el lenguaje de las matemáticas podemos escribirlo como sigue: si a y b ∈ N, entonces a + b ∈ N. El símbolo “∈” significa pertenece. Ejemplo:

2 + 3 = 5

Pruebe con el numero natural que desee, vera que siempre obtendrá un nuevo numero que pertenece al conjunto N.

 Conmutativa: Esta es una propiedad muy sencilla y se refiere a que sin importar el orden en que opere con los sumandos el resultado o suma no cambia. Asi que podemos escribir indiferentemente a + b = b + a. 4+3 = 3+4 que es igual a 7. Esto siempre se cumplirá. Memorice; El orden de los sumandos no altera la suma.

 Asociativa: Para explicar esta propiedad es necesario tener como mínimo tres sumandos y requeriremos del auxilio de un símbolo ya conocido y de uso diario en la escritura, el paréntesis, Asi que; (a + b) + c = a + (b + c).  Cuando se suman tres o más números, la forma en que se agrupan no afecta el resultado. Aquí la asociación la definen los paréntesis, quienes siempre tendrán prioridad al momento de realizar cualquier operación o combinaciones de ellas.

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) no olvide el ejemplo de la balanza. Realicemos la operación, lo primero son los números asociados por los paréntesis, una vez realizada la operación dentro de ellos, estos desaparecen, resaltare el resultado en color rojo para seguir la secuencia. 5 + 4 = 2 + 7. Note que a primera vista tenemos cuatro números distintos, dos de cada lado, pareciera que la balanza no está en equilibrio, pero sigamos con la operación. 5 + 4 = 9 por un lado, y por el otro 2 + 7 = 9, es decir 5 + 4 = 2 + 7; 9 = 9.

 Elemento neutro: El elemento neutro hace referencia a un numero en especial que cuando es sumado a otro no altera el resultado. Recuerde que hemos partido de la definición del conjunto de los números naturales incluyendo al cero como parte de este y como primer elemento. Esto ha sido con la intención de demostrar ciertas cosas interesantes. Asi que sea cual sea el numero natural si le sumamos el cero siempre obtendremos de vuelta ese mismo número, a + 0 = a.

 Cancelativa: De todas las propiedades esta tal vez le parezca un poco extraña, pero tiene grandes implicaciones teóricas. Si dos sumas son iguales y tienen en común un sumando, los otros sumandos son iguales. Si a + b = c + b, entonces a = c. Se trata de lógica pura y simple. Si 5 + 3 = x + 3, no queda otra que admitir que equis debe ser necesariamente igual a 5, así no se rompe el equilibrio. Ciertamente al principio indique que, al representar números por letras, estas representaban distintos números, pero no se confunda con esto.      

 Recuerde que las matemáticas se tratan de razonar, pensar con lógica, y esta propiedad nos ayuda a eso, para no caer en sin sentidos. Digamos que se parte de una premisa que nos permite por encima del lenguaje que usemos llegar a una conclusión que no entre en contradicción con la naturaleza de la operación.

             Con estas cinco reglas o propiedades podemos decir que tenemos definida y lista para operar sin ambigüedades lógicas evidentes, la suma dentro del conjunto de los números naturales, N. Queda mucho camino por recorrer, pero esto es paso a paso. Gracias por su atención.