Los Numeros Naturales Parte I
Nada más natural que contar, se nos da desde muy temprana edad. Basta con preguntarle a un niño que pronto arribara a sus primeros 12 meses de vida cuantos años va a cumplir, y observar cómo y sin gran esfuerzo te muestra uno de sus pequeños deditos.
Cierto es que ha sido previamente estimulado a ello, pero la naturalidad
del gesto es como para pensar, mucho antes de hablar, o entender a cabalidad el
idioma materno somos capaces de señalar con nuestros dedos nuestros primeros
años. Incluso hay adultos analfabetos, que no son capaces de darle sentido a
los símbolos del alfabeto que conforman su idioma, por lo tanto, están
impedidos para leer, pero cuentan y son capaces de realizar operaciones
matemáticas.
La matemática en su forma más elemental se encuentra arraigada en lo más
profundo de nuestra esencia, y lo más sorprendente es que no somos los únicos
capaces de reconocer cantidades. Compartimos esta habilidad con otros seres del
reino animal.
Sin embargo, somos la única especie que ha llevado el asunto de contar y
apreciar el valor fundamental de esta simple acción a generalizaciones
extraordinarias.
No siempre debió ser así, pero en algún momento tuvimos la necesidad de
hacerlo, y logramos construir a través de milenios la ciencia más rigurosa y
precisa que hemos podido desarrollar.
Creamos un lenguaje que se adapta a la realidad, la representa, con un
puñado de símbolos logramos desentrañar los secretos de la naturaleza. Hay que
admitir que aún estamos lejos del conocimiento total, queda mucho camino por
recorrer, pero el edificio que hemos construido desde que reconocimos que una
magnitud solo es idéntica a sí misma, es una maravilla, casi un milagro.
Los números tal como los conocemos no llegaron a su forma terminada
fácilmente, han sido producto del esfuerzo de muchos pensadores de quienes
hemos extraído sus mejores ideas hasta moldear la obra maestra que nos ha
abierto las puertas del conocimiento y la tecnología.
Un buen punto de arranque para adentrarse y crear bases sólidas en el
aprendizaje de las matemáticas es la comprensión de los números naturales, si
tiene alguna duda del nombre con que lo designamos relea el primer párrafo de
este artículo. Nada más natural que contar.
Nos centraremos en los números naturales bajo la simbología indo-arábigos
de base 10, y con su respectivo valor posicional. Aclaro esto porque no es el
único sistema, pero es el de mayor aceptación, por su practicidad, fácil
escritura, manejo y comprensión. Asi que sin más comencemos:
Lo de indo-arábigos se debe a que su desarrollo y difusión se debe a los
indios y los árabes, quienes comparten este logro. Así es como llegan a
nosotros los siguientes símbolos; 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Y como estamos hablando
de contar es fácil notar que solo son diez símbolos de allí lo de base diez.
Tan solo con estos diez símbolos y unas pequeñas reglas podemos representar
cualquier cantidad. Antes de explicar esto hare el siguiente comentario. El
numero cero es una conclusión muy especial, y se llegó a esta mucho después, es
por ello que hay autores no lo consideran un numero natural, sin embargo, otros
sí. En nuestro caso y para fines prácticos y de demostración de algunas
propiedades lo consideraremos un numero natural. La incorporación del cero lo
cambio todo, no exagero, es un número muy especial y sin él se derrumbaría el
edificio matemático, a pesar que no tiene por sí solo valor alguno.
Para darle más sentido al sistema numérico desarrollamos el valor
posicional, que consiste en que un mismo número multiplica su valor por 1 por
10 por 100 por 1000 y así dependiendo en que posición se encuentre en la cifra.
Las cantidades las leemos de izquierda a derecha, pero el orden posicional lo
establecemos de derecha a izquierda, vamos con los ejemplos:
"215" Leemos doscientos quince, de izquierda a derecha. pero
porque no simplemente decimos 2, 1, 5?
Aquí es donde entra la jugada maestra, el valor posicional, cada numero en
la cantidad expresada la llamaremos digito y lo valoramos según su posición
dentro de la cifra. Para ello diremos que empezando en la primera posición esta
vez de derecha a izquierda, tenemos a las unidades, inmediatamente le siguen
las decenas y posteriormente las centenas. Así que el numero 215 está compuesto
por 5 unidades (5 por 1), por 1 decena (1 por 10) y 2 centenas (2 por
100).
De esta forma es fácil ver que en la posición de las unidades el numero
mantiene su valor intacto, pero a medida que se avanza vale diez veces más y
luego cien veces más.
podemos descomponer de esta manera cualquier cantidad como sigue:
215 es igual a 5 unidades, 1 decena y 2 centenas
2x100= 200
1x10= 10
5x1= 5
Si procedemos a sumar tenemos 200+10+5= 215.
Por supuesto que esto no acaba aquí, en el mismo orden siguen las unidades
de mil, las decenas de mil y las centenas de mil. Y así se va repitiendo
pasando por millón, mil millones, billón, etcétera. Pero de momento quedémonos
con el ejemplo de las tres cifras suficiente para ver que la posición de un
numero dentro de una cifra determina su valor.
Volvamos a los que nos ocupa los números naturales, y para que los usamos. Visto
ya los símbolos y entendido el valor posicional podemos decir que esos son los números
naturales, y los usamos, para contar, para ordenar, para medir, para calcular,
y un sin fin de usos más.
Están presente en todos los aspectos de nuestra vida diaria aun si así no
los notemos, por su obviedad. Pero allí están, en una receta de cocina, en una
compra, en una distancia recorrida, en el tiempo, en nuestros latidos del corazón,
en todo.
Y no se sienta mal por pasarlos por alto, estos no fueron descritos con
rigurosidad por muchas generaciones de grandes matemáticos, hasta que llego uno
llamado Giuseppe Peano, quien los formalizo, antes de eso al parecer por su
simpleza nadie se dio a la tarea. Más adelante volveremos a ello.
Los matemáticos tienen la manía del orden compulsivo, así que les gusta
agrupar nombrar y ordenar. Sobre todo, si se trata de objetos que comparten características
comunes. A falta de recipientes se inventaron conceptos como los conjuntos. Piense
en ello como una caja o bolsa donde coloca cosas. Esas cosas las llamaremos
elementos. Pero son muchas cosas por ordenar, y para no confundir unas con
otras le vamos a colocar nombres a los conjuntos, y para que no sean nombres
largos, los identificaremos solo por una letra o símbolo. En este mismo orden
de ideas entendamos que un conjunto es una colección de elementos bien
definidos.
Llamemos al conjunto de los números naturales ℕ, bien, esa letra representa a todos los números
naturales. Vamos a escribirlos ya como si fuéramos expertos en la materia;
ℕ= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12, ...}
Esto se lee así; ℕ representa
al conjunto de los números naturales, o ℕ es igual al conjunto de los números naturales. Fíjese
en estos detalles, importantes, esas dos rayas paralelas que significan igual y
que separa la expresión en dos partes, quiere decir que lo que está de un lado
es idéntico o representa en su totalidad o lo que esta del otro lado. Imagine una
balanza, en perfecto equilibrio, para ello de un lado debe haber algo que pese
exactamente igual, logrando así el equilibrio.
Recuerda lo del recipiente donde colocar las cosas, bueno en este caso ese
recipiente está representado por esos símbolos que encierran a los números y
que se llaman llaves, son parte de símbolos de agrupación, hay otros, pero
estos se usan especialmente para conjuntos. Lo que está dentro de las llaves
son una sucesión de números que son los elementos del conjunto, separados por
comas para diferenciar uno de los otros, empezando desde el cero. Los puntos
suspensivos al final indican que la secuencia de números sigue, y créame que
siguen sin parar.
Ya sabiendo esto podemos empezar a expresar propiedades del conjunto de los
números naturales para conocerlos mejor.
1- Tienen un primer elemento. En este caso el
cero.
2- Son positivos. Todos ellos lo son
3- Son infinitos. Aquí llegamos hasta el 12, pero
por más grande que sea el numero le podrá sumarle un 1 y obtendrá el siguiente.
4- Son enteros positivos. Por entero entendamos
esto, todo numero entero simplemente lo es porque puede representarse como una
suma consecutiva de la unidad. Ejemplo: 5=1+1+1+1+1 ó 3=1+1+1,
también porque si lo dividimos por un numero el resto es igual a cero, lo que
quiere decir que el divisor es múltiplo del numero a dividir.
5- Son discretos. Esto quiere decir que entre dos números
naturales consecutivos no existe otro numero natural. Entre el 0 y el 1 no hay
otro natural, entre el 1 y el 2 tampoco y eso siempre se cumple.
6- Son ordenados, fíjese que se trata de una
secuencia de números ascendente, donde cada termino se obtiene de sumarle la
unidad al anterior, así, 1 es el resultado de sumar 0+1 y 2 de sumar 1+1 y así
siempre.
7- Esta lógica de orden no la cumple el primer
elemento que no es siguiente de ningún otro número.
8- En relación al orden siempre sucederá que, al
comparar dos números naturales distintos, uno es menor o mayor al otro. 1 es
menor a 2 y dos es menor a 3, se concluye que 3 es mayor a 1.
Se puede seguir sacando punta al lápiz, pero no nos adelantemos a Peano y
sus axiomas. Con estos ocho puntos me parece suficiente para que tenga una idea
clara de que es el conjunto de los números naturales y sus principales
propiedades.
Pero los matemáticos son personas perfeccionistas y un tanto inconformes. Y
no les basta con la explicación anterior.
Hay que decir que existen dos formas de definir un conjunto en matemáticas.
1- Por extensión.
2- Por comprensión.
Cuando definimos un conjunto por extensión es cuando enumeramos todos los
elementos que lo componen, ejemplo; Llamemos V al conjunto de las todas las vocales
entonces escribámoslo como matemáticos:
Note que en este caso no hay puntos suspensivos, hemos definido el conjunto
por extensión, es decir, lo hemos representado con todos sus elementos.
Ahora si lo definimos por comprensión podríamos hacerlos así:
V= {x ∣ x= a las vocales del abecedario}
Y se lee V es igual al conjunto formado por los elementos x tal que x son
las vocales del abecedario. Este ejemplo le podrá parecer poco practico ya que
es un poco enrevesado, toda vez que es mas extenso que definirlo por extensión.
Pero aquí veremos lo que pasa cuando se trata de conjuntos mas grandes o de
infinitos elementos.
Volvamos al conjunto de los números naturales, definámoslo por extensión:
ℕ= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12, ...}
Es claro ver que no podríamos hacerlo de tal manera que abarquemos la
totalidad de sus elementos, pero es una buena aproximación, pero aproximado no
es suficiente en matemáticas.
Asi que recurramos al segundo método:
ℕ= {x ∈ ℤ.∣ x ≥0}
ℕ= {x ∣
x es un número entero positivo}
ℕ= {x ∣
x es un número entero no negativo}
Todas estas
expresiones representan o definen al conjunto de los números
naturales, en el lenguaje matemático.
Dejemos esta lección
hasta aquí por hoy pronto continuaremos.
Gracias por su atención.
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